Czy matematyka jest tworzona, czy odkrywana?

Pojęcia matematyczne, czy fizyczne?

Pytanie czy matematyka jest tworzona, czy odkrywana stawia sobie każdy, kto pojęcia, struktury matematyczne oraz szczególny sposób analitycznego i syntetycznego rozumowania  odnosi do jej zastosowań we współczesnej nauce, a przede wszystkim do zjawisk przyrody i sposobu ich opisu.

Matematyka jest jedną z najstarszych dziedzin wiedzy ludzkiej. Od zarania dziejów człowiek liczył, mierzył, szacował wielkość pól powierzchni, objętości rozmaitych brył, dając początek dwóm gałęziom matematyki tj. arytmetyce  i  geometrii. Wraz z rozwojem matematyki przyjmowała ona coraz bardziej abstrakcyjną postać, stając się  wzorem ścisłego i logicznego myślenia. Sięgnęły do niej inne dziedziny wiedzy chcąc skorzystać z jej precyzyjnego i spójnego języka.

Zarówno matematyka jak i fizyka posługują się tymi samymi pojęciami jak punkt, prosta, przestrzeń, układ odniesienia, wektor, itp. W naukach przyrodniczych są to pojęcia, których odpowiedniki można zaobserwować lub zbadać we współczesnym świecie, z punktu widzenia matematyki są to pojęcia wymyślone, wyidealizowane pozbawione wpływów czynników zewnętrznych. Fizyk napotykając zjawisko, próbuje wyjaśnić mechanizm jego powstania lub działania, matematyk – idealizuje, buduje modele matematyczne starając się je opisać. Jeden i drugi posługują się tym samym językiem. Co to za język?

 Matematyczność przyrody

Czy matematyka, wytwór naszego intelektu, może mówić cokolwiek o przyrodzie wokół nas? Czy istnieje jakiś związek między myślą i materią? Steven Weinberg w 1977 r. powiedział „Trudno uświadomić sobie, że liczby i równania, którymi bawimy się przy naszych biurkach, mają coś wspólnego z rzeczywistym światem”. Spróbujmy się nad tym zastanowić.

Przyjrzyjmy się zegarowej regularności i synchronizacji ruchów ciał niebieskich, idealnych torach po jakich poruszają się planety, budowie pierwiastków . To najprostsze przykłady skuteczności matematyki w rozwiązywaniu zagadek Wszechświata. Do opisywania prawidłowości funkcjonowania przyrody najbardziej nadaje się język matematyki. Galileusz mówił, że „księga przyrody” jest napisana w matematycznym języku. Jeśli przyroda jest księgą, a nauka rozszyfrowuje informacje, jakie ta księga zawiera, to nośnikiem informacji musi być jakaś struktura. Okazuje się, że struktura Wszechświata jest przedziwnie podobna do tych struktur którymi zajmuje się matematyka.

Przyroda w całości i w każdej swojej części podlega prawom przyrody, stanowiącym strukturę matematyczną tzn. tworzącym dedukcyjny system twierdzeń matematycznych. Przystępując do konstruowania matematycznych modeli (teorii) świata, wykorzystujemy informacje pozyskane z obserwacji i eksperymentów. Ale powstałe teoretyczne struktury na ogół okazują się bogatsze od informacji jakie w nich zastosowaliśmy. To matematyka podpowiada nam które informacje są ważne, a które należy zignorować. To przy pomocy matematyki z nowych modeli i teorii dedukujemy nowe przewidywania empiryczne.

Każda teoria fizyczna jest systemem twierdzeń matematycznych zinterpretowanych fizycznie, co oznacza, że niektórym pojęciom nadajemy sens fizyczny i wtedy system ten staje się prawem fizyki.

Michał Heller w swoim artykule „Co to znaczy, że przyroda jest matematyczna” pisze „ W 1915 roku po długiej serii niepowodzeń Einstein napisał wreszcie poprawnie równanie pola grawitacyjnego. Udało mu się z nich wydedukować trzy, pozornie mało znaczące efekty, które zaledwie o bardzo maleńki ułamek różniły się od przewidywań wynikających z teorii grawitacji Newtona. Efekty te były tak nieznaczne, że ogromna większość fizyków z tamtych czasów uważała, że nie ma powodu przyjmować teorii, która przy pomocy tak ogromnej struktury matematycznej wyjaśnia tak mało. Ale jak powiedział Hertz, równania są mądrzejsze niż ci którzy je napisali. Sprawdziło się to niewątpliwie w przypadku równań Einsteina. W ciągu pół wieku od ich napisania fizycy i matematycy poznajdowali wiele nowych rozwiązań; niektóre z nich przedstawiają tak egzotyczne (z naszego punktu widzenia) konfiguracje, jak gwiazdy neutronowe, fale grawitacyjne, struny kosmiczne, stacjonarne i wirujące czarne dziury. Jeszcze pięćdziesiąt lat temu nikt nie był w stanie nawet podejrzewać istnienia takich obiektów. Dziś niektóre z nich już zostały odkryte we Wszechświecie.” ……………………….Tworzone przez nas matematyczne modele nie tylko przetwarzają informacje, ale tworzą nowe.

Matematyka unifikuje (integruje) odległe od siebie fakty, pojęcia, modele, teorie dążąc do sformułowania uniwersalnego równania szeroko opisującego prawa fizyki. Pewne sukcesy w tej unifikacji uzyskał Einstein, Schrödinger, Dirac opisując zjawiska fizyczne przy pomocy równania lub układu równań.

Wróćmy do pytania, czy przyroda jest matematyczna? Zjawiska przyrody, ruchy atomów, gwiazd,  istniały zanim stworzono i opisano je w postaci modeli, struktur, równań, funkcji.

Czy matematyka zatem to tylko gra symboli? Jeżeli świat istnieje i zachodzi odpowiedniość między matematycznymi strukturami a światem, to nie można uznać, że matematyka sprowadza się wyłącznie do gry symboli, zatem jest wymysłem człowieka.

Czy mógłby istnieć świat niema tematyczny? Otóż nie. Nasz Wszechświat zaprojektowano używając „subtelnej” matematyki i udostępniono nam narzędzia, dzięki którym możemy go skutecznie rozwikływać.

Można by spekulować, że to my rzutujemy na świat matematycznością, ale jeśliby świat nie był matematyzowalny, nie dałby się zmatematyzować. Cała przyroda jest matematyczna czyli została stworzona i działa według praw matematyki, a my poznając ją odkrywamy matematykę. Ileż jest równań, które stworzone przez człowieka doczekało się odpowiedników w zjawiskach przyrody.

Czy matematyka jest tworzona.

 Część filozofów matematyki twierdzi, że matematyka  jest  tworzona, bo przecież niezaprzeczalnym stwierdzeniem jest, że matematyka jest wytworem ludzkiego umysłu. Teorie matematyczne tworzy się dokonując pewnych operacji myślowych za pomocą istniejącej już wiedzy matematycznej bez odwoływania się do obiektów materialnych. Matematycy tworzą coraz to nowe pojęcia, których własności wyrażają w twierdzeniach posługując się cały czas logiką klasyczną. Istnieją duże obszary matematyki, które nie znajdują praktycznego  zastosowania, można by powiedzieć <sztuka dla sztuki>. Powstała geometria 9 punktów, każdy matematyk jest w stanie przyjmując pewne aksjomaty, definiując pojęcia, przy zastosowaniu praw logiki, stworzyć własną geometrię formułując i dowodząc nowe twierdzenia. Czy znajdą one zastosowanie w przyszłości? Zapewne nie.  Choć są w historii matematyki postacie, które stworzyły tak irracjonalne teorie, że nigdy nie spodziewalibyśmy się ich jakiegokolwiek zastosowania.

Musimy sięgnąć do początków geometrii w starożytnej Grecji. Około 300r. p.n.e. uczeń Platona – Euklides sformalizował ówczesną geometrię spisując ją w trzynastu księgach Elementach. Sformułował 5 aksjomatów, które obowiązują do dziś w tzw. matematyce szkolnej. 4 z nich odnoszą się do pojęć, które dobrze intuicyjnie rozumiemy takie jak: punkt, prosta, płaszczyzna, przestrzeń, a 1 jest bardziej skomplikowany „Jeżeli dwie proste przy przecięciu z trzecią tworzą po jednej stronie kąty wewnętrzne, jednostronne, których suma jest mniejsza od dwóch kątów prostych , to te proste przecinają się przy dostatecznym przedłużeniu i po tej właśnie stronie”. Wielu matematyków przez stulecia próbowało udowodnić ten aksjomat, wywieźć go z pozostałych czterech – nikomu się to nie udało. W końcu w XIX wieku znalazło się dwóch matematyków Mikołaj Łobaczewski i Jan Bolyai, którzy niezależnie od siebie przyjęli  4 pierwsze aksjomaty i zaprzeczyli  piątemu aksjomatowi Euklidesa. Utworzyli tzw. geometrię Bolyai’a, Łobaczewskiego, która w uproszczeniu przyjmuje, że suma kątów wewnętrznych trójkąta jest mniejsza niż 180°. Znalazł się też niemiecki matematyk Bernhard Riemann, który podobnie jak Bolyai i Łobaczewski zaprzeczył piątemu aksjomatowi, ale w zupełnie  inny sposób i stworzył tzw. geometrię sferyczną (eliptyczną), co w uproszczeniu dało wniosek, że suma kątów w trójkącie jest większa niż 180°. Musimy stwierdzić, że są to geometrie nie realistyczne, zupełnie odbiegające od naszego postrzegani a rzeczywistości. No cóż. Czysta matematyka. To trochę tak jak z przepisem kucharskim. Odpowiednio dobierając składniki otrzymamy smaczną potrawę, dobierając składniki dowolnie nie znamy rezultatu.

Czy matematyka  jest tworzona, czy odkrywana?

Niezależnie od ilości przytoczonych tu przykładów, każda dostatecznie rozwinięta dziedzina matematyki jest nadwyżkowa względem jej zastosowań. Kiedyś nowe dziedziny matematyki zostaną zastosowane do opisu przyrody np. geometria różniczkowa, analiza funkcjonalna, topologia. Ale pozostanie gros fantastycznych wariacji matematycznych, których pięknem rozkoszować się będą jedynie matematycy.

Jeżeli matematyka jest tworzona, to w jaki sposób odnieść ją do matematyczności przyrody, do matematycznych praw, według których funkcjonuje?

Wielu filozofów przyrody, filozofów matematyki i fizyki zagłębiało ten problem, do dziś nie został on rozstrzygnięty.

W tym krótkim artykule pragnęłam przybliżyć czytelnikom filozoficzny problem postrzegania matematyki  jako tworzonej i odkrywanej, przytoczyć kilka argumentów za i przeciw tej teorii i pokazać doniosłość  znaczenia matematyki w rozwoju współczesnej nauki.

mgr Renata Nowak